二维傅里叶变换是怎么进行的？

1.首先回顾一下一维FT

通俗来讲，一维傅里叶变换是将一个一维的信号分解成若干个三角波。

对于一个三角波而言，需要三个参数来确定它：频率,幅度 A ，相位。因此在频域中，一维坐标代表频率，而每个坐标对应的函数值也就是是一个复数，其中它的幅度就是这个频率三角波的幅度 A ，相位就是 。下图右侧展现的只是幅度图，在信号处理中用到更多的也是幅度图。

2.类比：从一维到二维

一维信号是一个序列，FT将其分解成若干个一维的简单函数（三角波）之和。二维的信号可以说是一个图片，类比一维，那二维FT是不是将一个图片分解成若干个简单的图片呢？

确实是这样，二维FT将一个图像分解成若干个三角平面波之和。如下图：

对于三角平面波，可以这样理解，在一个方向上存在一个三角函数，在法线方向上将其拉伸。前面说过三个参数可以确定一个一维的三角波。哪几个参数可以确定一个二维的三角平面波呢？答案是四个，其中三个和一维的情况一样（频率 ,幅度 A ，相位 ），但是具有相同这些参数的平面波却可以有不同的方向。如下图所示：

两个不同方向的平面波叠加

3.二维频率域K-SPACE

在一维中由于分解后的参数只要三个，所以用一个序列就能存储它：下标表示频率，存储的内容表示此频率的三角波的幅度和相位。而对于二维FT变换后的平面波有四个参数，那怎末来保存呢？

类比一维中，幅度和相位可以用一个复数表示，它可以作为我们存储的内容。但是还有两个：一个频率一个方向。这时想到向量是有方向的，也是有长度的。所以我们用一个二维的矩阵的来保存分解之后得到的信息。这个矩阵就是K空间。（一般用k来表示空间频率，单位是1/m）

什么意思呢？就是说一个二维矩阵点代表这个平面波的法向量，这个向量的模代表这个平面波的频率 ，这个点里面保存的内容复数就是此平面波的幅度和相位。下面这个图很好的体现了这一点：

也因此K空间的中心对于低频，周围对于高频。如下图，K空间中只有（0，0）处有值，也就是信号都是直流即不存在变化，所以实空间就是一张白纸。

再如下面这个图片，中心低频贡献了图像的主体，周围高频提供图像的细节和边缘。

4.关于K空间

在一维FT变换后，频域呈现对称性，也就前半段代表（0，fs/2），而后半段代表（-fs/2，0）。在二维中也是如此。因此为了方便理解，一般会对图像进行fftshift，将其交叉替换，将0频移至中心。另外，K空间也具有共轭对称性。

下面这个图像显示了二维傅里叶变换中，实空间旋转多少，频率空间也会相应旋转多少。这其实是高维傅里叶变换缩放定理的一种特殊情况。

5.二维傅里叶变换公式

上式为二维FT的公式。可以证明的实部也就是是一个三角平面波。也就是说，二维FT的公式就是将与每个不同方向不同频率的平面波做积分，求出这个基的系数。至于为什么这样可以，就要涉及到正交基、内积、线性空间的知识了。